verze pro tisk

Explikace pojmu tónové skupiny v teorii množin

Jiří Raclavský

1. ÚVODEM

Rozsáhlá studie-monografie Aloise Piňose Tónové skupiny byla vydána v roce 1971[1], tedy v letech, kdy druhá avantgarda důkladně ohledává možnosti hudebního vesmíru. Je to období, kdy se delší dobu hledalo východisko z obtíží zdánlivě absolutní seriální kompoziční techniky. Avšak Piňosova kniha se této době zcela vymyká – nejde o pouhé hledání nové cesty, ale je to nahlédnutí hudebních (tónových) možností celé hudební historie jakožto celku. Kniha se zaobírá z tónového hlediska tím, co má společné gregoriánský chorál, středověká i klasická hudba, Nová hudba i jakákoliv jiná, i mimoevropská, či rocková, atd.[2] Jde o obecně, objektivně platnou práci – Piňos nezpracoval něčí skladatelskou techniku, vypracoval plně muzikologickou studii patřící do oblasti obecné hudební teorie. V tom tkví její (žel z mnoha historických důvodů nedoceněný) význam.

Nalézáme snad málokteré monografie podobné teoretické naléhavosti. Např. slavná kniha “Formalized Music” Iannise Xenakise[3] vlastně jen načrtává hypotézu hudby jakožto stochastického procesu (aplikace z teorie informace) a jen dílčím způsobem pojednává o hudební struktuře na základě teorie grup. Vyskytly se i další práce aplikující na analýzu hudebních skladeb teorii množin, avšak s poměrně skromnými výsledky.

Cílem této studie je vystavět jistý most. Most mezi matematikem a hudebníkem, oba – pozorují-li hudbu – se na ni dívají z jiného břehu[4]. Záměrem je poodhalit to, nad čím se čtenář “Tónových skupin” snad může pozastavit, totiž: jaký je vlastní matematický podklad Piňosova pojmu “tónové skupiny”, resp. pojmu “reprezentant tónové skupiny”. Při bližším ohledání narážíme totiž nakonec na určitá úskalí. Ta jsou dána tím, že “Tónové skupiny” jsou knihou par excellence pro hudebníky-skladatele, nesleduje matematický způsob vyvození. My však v této “hudebnosti” Piňosovy knihy spatřujeme nepochybnou výhodu. K čemu by byl – svým způsobem triviální – matematický nárys 12 prvkového univerza? Piňos ohledal mnohé skladatelské i muzikologicko-analytické vlastnosti a vztahy tohoto tónového prostoru[5]. A nejen to: plejáda možností zde prochází úspěšnou redukcí. Redukcí, která je i z kognitivních důvodů jistě nezbytná. Snad pouze takto lze abstrahovat od “opakovaného téhož”, přičemž lze postihnout “jádro věci”. Také proto budeme redukcím tónových skupin na reprezentanty tónových skupin věnovat zostřenou pozornost[6].

Naším výchozím pojmem je pojem množiny, avšak jako výchozí bod můžeme postavit i jiný pojem a to pojem funkce. Tuto cestu jsme nezvolili, ani o ní blíže nepojednáváme, a to i proto, že výsledky dosažené naší cestou považujeme za plauzibilní a relevantní pro naši problematiku[7].

2. ZAPOČETÍ ZKOUMÁNÍ POJMU TÓNOVÁ SKUPINA

Výchozím místem budiž definice centrálního pojmu zkoumané problematiky. Tímto pojmem je tónová skupina. Budeme postupovat podle kroků Piňosovy vlastní definice:

Vyjděme ze stručné definice, vymezující pojem “skupina” v jeho obecné platnosti: “Skupina je každé spojení daných prvků[:] buď všech, nebo jakéhokoli jejich výběru” a ujasněme si, co z ní vyplývá pro skupiny tónové. ([Piňos 1971], s. 11, kap. 1., Základní definice)

Smysl definice je na první pohled průhledný, zřejmý. Přesto však zde matematik, či filosof-logik může najít některé problematické termíny. Následně se pak průhlednost může jevit poněkud zastřenější. Problematizujme proto nyní některé užité výrazy:

1.1) Především termín “skupina”. V běžném smyslu je skupina souhrn několika položek, entit, které se mají nějak k sobě (proto Piňos dodává, že skupina je spojení – o tom však níže). Je to tedy víc než nějaká hromada, souhrn. Dané předměty jsou navzájem k sobě jaksi vázány. Skupina přátel na večírku, či skupina členů rodiny. Uvědomujeme si jistou vázanost, či až hierarchizaci. Skupina hor v jisté krajině, či skupina pijáků v pivnici, skupina předmětů na stole – zde už můžeme možná o provázanosti přestat hovořit, spíše se jejich spjatost jeví ve světle nějaké charakteristiky, podmínky, kterou musí ty předměty mít, aby mohly být zařazeny do daného uskupení (ty a jen ty předměty, které jsou na daném stole, atd.). Je zde tedy jakási oscilace, kde na jedné straně se jedná o prosté nakupení, třeba i náhodné ohraničení, vymezení daných věcí (souhrn, shrnutí), na druhé straně je pak konglomerát, komplex věcí, které jsou uspořádány, hierarchizovány pomocí vzájemných vazeb, vztahů, tedy složenina, kompozice. Toto pnutí se pokusíme zachytit pomocí pojmu množiny, tj. prostého shrnutí prvků, mezi nimiž nejsou popisovány žádné vztahy, potom pomocí pojmu uspořádané n-tice, která zaznamenává pořadí prvků (i jejich případnou iteraci v sekvenci), dále pomocí pojmu uspořádané množiny, kde mezi prvky shledáváme relaci uspořádání[8].

1.2) Matematika sama používá pojem skupina vlastně méně, než by laik mohl očekávat. Především pro možnou indikaci vztahů, vázanosti entit v souboru, se nikdy neužívá pojem množiny. Ovšem v české matematické produkci nalézáme výraz skupina a to jen v souvislostech kombinatoriky. Například práce, která předchází sepsání “Tónových skupin”, tj. mohla být při něm použita (buď tato, či jiná kniha), je Nauka o skupinách J. M. Horáka, (srov. [Horák 1951]). Polovina této učebnice se nazývá “Kombinatorika (nauka o skupinách)”. (Pro přesný pohled citujme [Horák 1951], s. 3: “Nauka o skupinách se zabývá stanovením počtu skupin různého druhu, které je možno utvořit z daných prvků. Skupiny obsahující všechny dané prvky, avšak v různém pořadí, nazýváme permutacemi.”[9].) V těchto případech se jedná o samostatný výklad kombinatoriky mimo teorii množin[10]. Výrazem skupina chce matematik zřejmě postihnout jak množinu, tak uspořádanou n-tici. Ještě jeden okruh matematické konotace: výraz grupa – z teorie grup – by mohl jistě být z lingvistického hlediska přeložen (avšak není) do češtiny výrazem skupina. Piňos matematických konotací využil – sám pečlivě studoval mnohé dobové matematické teorie.

1.3) V hudebním prostředí je souvislost pojmu skupina lehce vysledovatelná. Druhá avantgarda hledá nové termíny pro jevy, které se začaly vyskytovat, a které chce postihnout. Piňos sám v Úvodu k Tónovým skupinám upozorňuje na Karlheinze Stockhausena, který o skupinách hovoří (Stockhausen ale nevypracoval žádnou obecnou a podrobnou studii, nýbrž načrtl jen dobovou a osobní práci se skupinami).

2) Dalším příznačným výrazem je výraz “spojení”. Tento výraz sloužící k definičnímu vysvětlení pojmu skupiny (srov. 1.1) naznačuje snad, ne však jistě, na provázanost entit v souboru. Není to ale “složení”, jenž by ukazovalo na komplex, kompozici daného uskupení. Zda je výrazem “spojení” míněna strukturovanost, či ne, není zcela jasné[11].

První hypotéza. Nabízí se tu hypotéza, že tónovou skupinu lze nejvhodněji lépe explikovat matematickým pojmem něčeho, co nevyjadřuje komplexnost. Takovýmto pojmem je pojem množiny, či jak bych řekl prosté množiny (neuvažují se vlastnosti prvků, jen jejich odlišnost)[12]. Před tím však bude nezbytné ujasnit, co je prvkem takovýchto množin, totiž co je tón (sekce 3.1) a tónová soustava (sekce 3.2). Poté definujeme tónové množiny (sekce 3.3), k nimž přiložíme Piňosovu definici tónových skupin (sekce 3.4).

Druhá hypotéza. První hypotézu však budeme muset posléze odmítnout (“Proti tónovým množinám (s tóny bez vlastností)”, sekce 4.1), protože tóny jsou obtíženy vlastností výšky. Proto pak přejdeme k hypotéze druhé, podle níž tónová skupina je uspořádanou množinou, jejímž prvním prvkem je množina tónů a druhým relace uspořádání podle výšky. Hypotéza se nám potvrdí při zkoumání tzv. reprezentanta tónové skupiny (tj. tónové skupiny v užším slova smyslu), protože Piňos vzal při jeho definování v úvahu právě fakt tónové výšky (sekce 4.2). Posléze pak definujeme pojem intervalu (sekce 4.3), intervalové skupiny a jejího reprezentanta (sekce 4.4). Doplňkem pak definujeme čistě tónově pojatého reprezentanta tónové skupiny (sekce 4.5), přičemž ukážeme, že Piňosova definice reprezentanta tónové skupiny vlastně zčásti čerpá z definice reprezentanta intervalové skupiny.

3. TÓNOVÉ SKUPINY JAKO MNOŽINY

3.1. TÓN

1) Jak známo, vysvětlení charakteristik znějícího tónu je v zásadě následující. Iniciací tzv. oscilátoru vzniká akustické vlnění (vlnění vyvolané tlakovými změnami v prostředí – vzduchu nebo vodě). To je určité frekvence, tj. počtu kmitů za sekundu – to vnímáme na základě našeho vyhodnocování signálů ze sluchového ústrojí jako výšku[13], bezprostředně dochází k protínání se kmitu, jím dochází ke vzniku dalších frekvencí (vyšších harmonických tónů, alikvotů), avšak převážně ve slabších dynamikách – to vnímáme jako barvu tónu (dále se na tom podílí šumy a šelesty, vedlejší oscilátory). Je-li chvění pravidelné (periodické), pak ho chápeme jako tón, je-li nepravidelné, chápeme ho jako hluk. Různou velikost amplitudy chápeme jako sílu, dynamiku tónu[14]; délka tónu je samozřejmě dána dobou zaznívání tónu[15]. Znění tónu je zaznamenáváno na oscilogramech, kde na vodorovné ose je vynesen čas, na svislé ose výška křivky. Tón je tedy funkcí z časových okamžiků do (reálných) čísel reprezentujících frekvenci:

Idealizovaně můžeme diskutovanou situaci zaznění tónu modelovat pomocí grafu tónu v čase s vyznačením hlavní (nejníže umístěné) frekvence a frekvencí alikvotních, přičemž dynamika (třetí dimenze) je vyznačena tloušťkou čáry:

Máme tu znázorněno, jak se k hlavní (první) frekvenci přidávají další frekvence v jejich (nižších) dynamikách, ve stavu tři je tón kompletní[16].

Spektrální analýzou lze každý nesinusový tón[17] v určitém časovém intervalu (např. stavu úplného rozvinutí všech dílčích frekvencí) lze rozložit na jednotlivé frekvence (princip uvedený již Fourierem). Tón je tak funkcí od časových okamžiků, do n-tic výšek (dynamika je zahrnuta prostřednictvím rozpětí amplitud).

2) V prostředí hudby ovšem obvykle tón chápeme jako něco, co má výšku, dynamiku-sílu, délku a barvu. Z hlediska matematiky můžeme takto chápaný tón zachytit v čtyřdimenzionálním grafu:

kde * je tón. Tón tak matematicky máme jako uspořádanou čtveřici prvků těchto čtyř množin, t, Hz, dB a barev (ať už tuto množinu budeme definovat jakkoli, značme ji b). Uspořádaná n-tice <wÎt, xÎHz, yÎdB, zÎb> zapisuje obecně tón, konkrétní tón máme po dosazení konkrétních čísel. Každá konkrétní čtveřice je prvkem kartézského součinu těch čtyř množin (t×Hz×dB×b)[18].

3) V prostředí hudební teorie se nezřídka abstrahuje od délky, dynamiky či barvy tónu, tón je tak uvažován jako pouhá výška.

Shrneme-li výsledek naší sondy analyzující tón, pak můžeme s jistotou konstatovat, že tón má přinejmenším vlastnost výšky.

3.2. TÓNOVÁ SOUSTAVA

Standardně uváděný rozsah tónového prostoru se v závislosti na schopnostech lidského ucha vymezuje od C2 po c5, tedy cca od 16,35 Hz po 16 744 Hz. V rámci tohoto kontinua je možnost (spočitatelného) nekonečna tónů. Je proto třeba zredukovat toto množství – už i proto, že lidmi užívané tónové soustavy nikdy nevyužívají celou tuto škálu. Z důvodu všeobecné znalosti i množství hudební produkce je rozumné z tónových soustav zvolit evropskou temperovanou půltónovou soustavu. Podobně i Piňos zvolil evropskou temperovanou půltónovou soustavu: “Pokud jde o volbu tónové soustavy, rozhodli jsme se pro soustavu temperovanou, půltónovou.” ([Piňos 1971], Tónové skupiny, s. 11, kap. 1, Základní definice). Máme pak k dispozici (cca) 8×12 (osm oktáv), tj. 96 prvků. Jedná se o známou množinu tónů C2, Cis2(Des2), D2, Dis2(Es2), E2, F2, Fis2(Ges2), G2, Gis2(As2), A2, Ais2(B2), H2, C1, ..., c, ..., c1, ..., c2, ..., c3, ..., c4, ..., c5[19].

Je však standardním zvykem odhlížet od různosti tónů lišících se dvojnásobkem, či jiným celým násobkem frekvence, čili od tónů lišících se od sebe vzdáleností jedné, či více oktáv. V této souvislosti se často hovoří o podobnosti tónů lišících se jen oktávovou transpozicí. Tuto redukci objasňujeme hned dále. Předmětem úvahy, tónovým prostorem je pak jen 12 tónů (tzv. totál, popř. tónový totál) oproti 96 tónům (8 ´ totál). Redukce univerza tónů (U) se dá chápat jako funkce, kde jednotlivým prvkům tónové soustavy, tedy argumentům, jsou přiřazovány prvky 12-prvkového univerza ({c, des, d, es, e, f, ges, g, as, a, b, h}), které jsou abstraktní vzhledem k oktávové poloze. Každému argumentu je přiřazen prvek jakoby “stejnojmenný”. Vznikne tak tabulka, kde např. tónům C2, C1, C, c, c1, c2, c3, c4, c5 je přiřazeno, jakožto prvek hodnot vzhledem k oktávové poloze abstraktní c; (atp.). Podle demonstrativní vhodnosti budeme pracovat buďto s 12-prvkovým modelem soustavy, anebo s neredukovanou 96-prvkovou soustavou.

3.3. TÓNOVÉ MNOŽINY

Nyní definujme pojem tónové množiny, který nám bude sloužit pro zkoumání tónových skupin jako pracovní. Předmětem množinové reflexe mohou být jakékoliv předměty, tedy i tóny.

1) Tónovou množinu chápeme jako jakoukoli podmnožinu tónové soustavy.

2) Jediná věc, která nás v případě, že prvky množin jsou tóny, zajímá, je jejich rozlišitelnost[20] a ne jejich typické vlastnosti jako jejich výška (byť můžeme nějakou množinu tónů nadefinovat jako množinu těch tónů, které jsou v té a té skladbě)-

3) Opakované prvky, zde tóny, nemohou tónové množiny jakožto množiny obsahovat.

4) Množiny tónů jsou konečné.

5) Je běžné, že množiny tónů se zadávají enumerativně (výčtem prvků ve složených závorkách, {, }). Je však možné i taxativní vymezení – např. “množina tónů a1 v symfonii Apollo XI” (mj. je to jednoprvková množina, i kdyby se ve skladbě tón a1 vyskytoval stokráte); tento druh definování však nebudeme používat.

6) V našem případě je univerzem U (tj. souborem všech prvků množinově zkoumané oblasti) množina tónů evropské chromatické tónové soustavy (96 tónů), respektive v případě redukce je univerzem dvanáctitónová množina {c,des,d,...,h}.

7) Podmnožinami jsou např. množiny {c,d}, či {b,a,c,h}, atp.

8) Potenční množinou PU například 12-prvkového univerza, tedy PU={Æ [21], {c}, {des}, ..., {c, des}, ..., {c, des, d}, ... , {c, des, d, es, e, f, ges, g, , as, a, b, h}}.

9) Počet prvků potenční množiny, tedy počet tónových množinových kombinací, počet všech k-prvkových podmnožin, je roven 2n (kde n je počet prvků množiny-universa tónů)[22]. V tónovém dvanáctiprvkovém univerzu je 212, tedy 4096 (v případě neredukovaného univerza jde o 296), což znamená že tónových množin je právě toto číslo. Kombinačními čísly můžeme tento výsledek vypočítat jinak. Mějme pro to Pascalův kombinační trojúhelník (po vypočtení kombinačních čísel “n nad k”):

n=0

1

n=1

1 1

n=2

1 2 1

n=3

1 3 3 1

n=4

1 4 6 4 1

n=5

1 5 10 10 5 1

n=6

1 6 15 20 15 6 1

n=7

1 7 21 35 35 21 7 1

n=8

1 8 28 56 70 56 28 8 1

n=9

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

n=10

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

n=11

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

n=12

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

Součet všech tónových kombinací z posledního (dvanáctého řádku[23] pro universum o 12 prvcích) je pak 1 + 12 + 66 + 220 + 495 + 792 + 924 + 792 + 495 + 220 + 66 + 12 + 1, což se rovná 4096, tak jako 212. Ovšem pokud n=96 (tj. počet tónů osmi oktáv), pak počet tónových kombinací, tónových podmnožin se rovná 296, tj. 7,92281625142611028.

10) Platí zde též řada dalších množinových vztahů, některými z nich se budeme zabývat v oddílu věnovaném tónovým skupinám jakožto množinám.

3.4. TÓNOVÁ SKUPINA JAKOŽTO MNOŽINA

Prošetřeme teď první hypotézu, že tónová skupina je množinou (tónovou množinou), která se nám zdá být podložena – jak již bylo i naznačováno – několika faktory.

1) Citujme Piňose: “Skupina je každé spojení daných prvků /:/ buď všech nebo jakéhokoli jejich výběru” ([Piňos 1971], s. 11). Přičemž: “Je nasnadě, že danými prvky tónových skupin jsou jednotlivé tóny; je však třeba rozhodnout, které tóny to budou a jak s nimi budeme zacházet, tj. zvolit tónovou soustavu a uvážit postavení tónu jako stavebné jednotky tónové skupiny.” ([Piňos 1971], s. 11). (Srov. sekci 3.3, Tónové množiny, bod 1.)

2) Vlastnostmi prvků, tónů, se Piňos nezabývá.

3) Opakované prvky, zde tóny, nemohou tónové skupiny obsahovat. Je to právě tato shoda s podobnou tezí A. Piňose, která důvěryhodně navozuje explikaci pojmu tónové skupiny jakožto tónové množiny. Citujme: “Opakovaný tón nový prvek nepředstavuje. To platí nejen pro tón totožné výšky, ale i pro kteroukoliv jeho oktávovou transpozici. Při označení počtu tónů tónové skupiny se tedy případně opakované tóny neberou v úvahu; zásadně rozhoduje pouze skutečný počet různých tónů chromatické stupnice ve skupině obsažených.” ([Piňos 1971], s.11). (Srov. sekci 3.3, Tónové množiny, bod 2.)

4) Jde vždy o konečné množiny (jak lze vyvodit i z [Piňos 1971], srov. též sekci 3.3, Tónové množiny, bod 4). Povšimněme si, že při pomyslné nekonečné skladbě (komponované v evropské tónové soustavě) nám konečnost zajistí vyloučení opakovaných prvků.

5) Druhy zadání (srov. [Piňos 1971], též sekci 3.3, Tónové množiny, bod 5) tónových skupin se Piňos nezabývá.

6) Výraz “všech” (prvků) znamená nevlastní podmnožinu prvků. (Srov. [Piňos 1971], též sekci 3.3, Tónové množiny, bod 6.) Na straně 35 ([Piňos 1971]) je nazývána kompletní množina.

7) Výraz “výběru” (prvků) znamená vlastní podmnožiny z univerza prvků. (Srov. [Piňos 1971], sekce 3.3, Tónové množiny, bod 7.)

8) Potenční množinu (srov. sekci 3.3, Tónové množiny, bod 8) dvanáctiprvkového univerza do jisté míry Piňos uvažuje termínem kolekce, pakliže by šlo o všechny tvary odvoditelné ze všech reprezentantů (srov. [Piňos 1971], s. 15).

9) O počtu prvků hovořme hned s Piňosem: “Jestliže je skupinou spojení prvků všech nebo jakéhokoli výběru, pak za tónové skupiny musíme považovat nejen skupiny dvoutónové až jedenáctitónové, ale i skupiny jednotónové, tj. jednotlivé tóny i skupiny dvanáctitónové, zahrnující a obměňující tónový totál.” ([Piňos (1971], s. 11). Prázdná množina je Piňosem zmíněna na stranách 12 a 18 v kapitole 2., Odvození tónových skupin. V Přehledech všech reprezentantů tónových skupin na straně 35 se o prázdné množině a jejím protějšku (kompletní množině) dovídáme v odstavci “Prázdná a kompletní množina”.

Kardinalita (mohutnost), počet prvků množiny, je pojmem obdobným Piňosově pojmu kategorie, neboť kategorie je tříděním tónových skupin (resp. jejich reprezentantů) podle počtu jejich prvků (“Z hlediska počtu tónů ve skupině lze proto rozdělit všechny tónové skupiny celkem do 12 kategorií.” ([Piňos (1971], s. 11), rozlišujeme tak zde 12 kardinálních čísel (nepočítáme-li, jako stejně i Piňos, prázdnou množinu). (Srov. sekci 3.3, Tónové množiny, bod 9.)

10) Z dalších zajímavých analogií k teorii množin si musíme uvést:

a) Pojem komplementární tónové skupiny (množinově řečeno jde o doplněk množiny, někdy se říká přímo komplement), lze vhodně uplatnit vhledem k univerzu. Při odvození tónových skupin Piňos nazývá “dvojice tónových skupin bez společných tónů, které dohromady vyjadřují dvanáctitónový totál” protějšími tónovými skupinami, protějšky, pendanty ([Piňos 1971], s. 12).

b) Rozklad množiny M je množina podmnožin M takových, že jsou vzájemně disjunktní a jejich sjednocením je M, využívá Piňos k definici tzv. kompletu – “Několik tónových skupin bez společných tónů, které dohromady vyjadřují dvanáctitónový totál, nazveme kompletem tónových skupin.” ([Piňos 1971], s. 97). Jak ještě dodává ([Piňos 1971], s. 97), tvoří-li komplet jen dvě množiny, pak se jedná o pendanty, jak již definoval dříve.

Je tedy evidentní, že řada Piňosových pojmů koresponduje pojmům teorie množin, ať už se skrývají za jinými výrazy (totál-univerzum, výběr-podmnožina, kompletní množina-nevlastní podmnožina univerza, pendant-doplněk, komplet-rozklad, kategorie-kardinální číslo), či jsou doslovně matematické (prázdná množina).

4. TÓNOVÉ SKUPINY JAKO USPOŘÁDANÉ MNOŽINY

4.1. PROTI TÓNOVÝM MNOŽINÁM (S TÓNY BEZ VLASTNOSTÍ)

Nyní uvažme následující: z definice tónu víme o souvislosti s vlastností výšky, tóny se totiž liší nejen jmény, lexikograficky, ale definičně i vlastností výšky. Tím je ale porušen základní předpoklad, že množina tónů je pouhou množinou prvků bez jejich výšky.

Jedním z dokladů toho, že tónová množina je výškami nějak uspořádaná, je možnost konstrukce tzv. všeintervalových dvanáctitónových řad[24]. Kdyby totiž množina tónů nebyla uspořádaná, tj. každý prvek by byl v rovnocenném vztahu k jinému prvku, pak by sestavení všeintervalové dvanáctitónové řady bylo triviální záležitostí několika vteřin, šlo by o prosté seřazení všech intervalů do libovolného pořadí, mezi něž se pak napíší názvy tónů chromatické stupnice a to opět v libovolném pořadí. Jenže tak tomu, jak známo, není.

Mezi výškami tónů jsou různé vzdálenosti, jsou mezi nimi intervaly. Každý tón tónové soustavy je vzdálen od sousedního tónu intervalem půltónu[25]. Tónová soustava je tedy uspořádanou množinou, objektem tvaru {M, R}, kde tóny, resp. jejich množina M, je první prvkem této množiny a R je relace pořádání prvku množiny M (zákonitě pořádá všechny její podmnožiny). Pole uspořádané množiny, množina tónů, je pouhá množina, a tedy nemá opakované prvky (podobně R je množinou uspořádaných dvojic, z nichž se žádná neopakuje). Relaci pořádání evropské (půl)tónové soustavy můžeme nazvat “být o půltón vyšší” (tato relace ostrého uspořádání je reflexivní, asymetrický á a tranzitivní).

Poznatky uvedené v předcházející sekci 3.4, Tónová skupina jakožto množina, ovšem nepřestávají platit[26].

4.2. REPREZENTANT TÓNOVÉ SKUPINY

Zkoumejme nyní, co je reprezentant tónových skupin. Ze studijních, muzikologických i skladatelských důvodů je třeba, jak Piňos sám píše, “najít takové prostředky, pomocí nichž bychom se dozvěděli o tónových skupinách vše podstatné, aniž bychom museli vytvářet a zpracovávat přemíru materiálu.” ([Piňos 1971], s. 11). Mnohé tónové skupiny totiž vykazují vysokou míru příbuznosti. Proto je možné odlišit určité základní tvary – reprezentanty, od nichž lze některými operacemi (funkcemi – redukcemi[27]; viz dále) odvodit úzce příbuzné tvary, deriváty. Reprezentant a deriváty tvoří kolekci (srov. [Piňos 1971], s. 12-15, Odvození tónových skupin, A. Vymezení materiálu).

Získání reprezentanta, to jest redukci množství tónových skupin, je sled jistých operací – redukcí – nad tónovými skupinami. Získání reprezentanta můžeme obecně (a poněkud zjednodušeně) chápat jako funkci, které každé tónové skupině přiřazuje příslušného reprezentanta, přičemž různým tónovým skupinám může být přiřazen týž reprezentant; někdy je pochopitelně určité tónové skupině coby reprezentant přiřazena ona sama. Množina reprezentantů má menší mohutnost, menší počet prvků, než množina tónových skupin). Tato funkce je vlastně tzv. skládání zobrazení, jde totiž často o několik funkcí – redukcí. Jednotlivými zobrazeními v tomto skládání jsou jednotlivé redukce určité tónové skupiny na jejího reprezentanta.

Opačným způsobem utváříme z reprezentanta konkrétní tónovou skupinu rozprostírající se třeba i přes více jak jednu oktávu. Mj. Piňos se jim věnuje např. v pasážích o tónových skupinách jakožto vertikálách [Piňos 1971], 2. kapitola, i jinde.)

Redukce:

Redukcí je možno nalézt hned několik. První tři jsou uvedeny již v Základní definici, další pak v následující kapitole – “Odvození tónových skupin”, část “A. Vymezení materiálu” ([Piňos 1971], s. 12-15). Stručně a výstižně Piňos nakonec říká ([Piňos 1971], s. 15): “Reprezentant skupiny zastupuje všechny tvary, které lze vyvinout sestavením daných tónů, dále jim odpovídající veškeré zrcadlové tvary a kvintové a kvartové záměny a to vše v kterékoli z 12 transpozic.”. Redukce nyní uvádíme v tomto seznamu:

1) První redukce odhlíží od oktávových poloh tónů. Je totiž běžné odmyslet se od tónů lišících se jen dvojnásobkem (či vícenásobkem) frekvence: “Disponujeme dvanácti tóny chromatické stupnice – dvanácti prvky pro výstavbu tónových skupin.” ([Piňos 1971], s. 11), “Reprezentant skupiny však nezastupuje jen tvary, které je možno z určitého tónového materiálu vyvinout v rámci jedné oktávy, nýbrž i všechny tvary, které lze vyvinout z tohoto materiálu v celém tónovém rozsahu.” ([Piňos 1971], s. 13)[28]. Pro příklad uvažujme sedmitónový útvar (melodii či souzvuk) “Des A b b c1 f1”, který redukujeme na skupinu “des a b b c f” (toto značení nemá indikovat lokalizaci v malé oktávě; abstrahujme též od přesahování tónu d do oktávy vyšší). Povšimneme si, že takto jsou pod reprezentanta subsumovány tvary s komplementárními intervaly; v reprezentantech tónových skupin bude proto bude největším intervalem mezi sousedními tóny interval tritónu (který je sám k sobě komplementární, neboť půlí chromatickou stupnici)[29].

2) Druhou redukcí je odhlédnutí od opakovaných prvků v tónové skupině, opakující se prvek tónového uskupení není pro tónovou skupinu konstitutivní ([Piňos 1971], s. 11); touto tezí jsme se zabývali již výše v sekci 3.3, Tónové množiny. Piňos hovoří i o tom, že se “případně opakované tóny neberou v úvahu; zásadně rozhoduje pouze skutečný počet různých tónů chromatické stupnice ve skupině obsažených.” ([Piňos 1971], s. 11). Např. šestitónovou skupinu “des a b b c f” redukujeme na skupinu pětitónovou: “des a b c f”.

3) Třetí redukce tkví v požadavku stěsnání tónové skupiny do tvaru, jehož krajní tóny svírají nejmenší interval, nejmenší ambitus: “reprezentantem musí být tvar nejužší, s nejmenším možným ambitem.” ([Piňos 1971], s. 13). Jak pozoruje Piňos: “zcela vystačíme s prostorem pouhé velké septimy, poněvadž kteroukoli tónovou skupinu [přesněji: reprezentanta tónové skupiny] lze umístit v jeho hranicích.” ([Piňos 1971], s. 12), co je však významnější: “I na tomto úzkém prostoru však má tatáž tónová skupina obvykle několik tvarů, stojících navzájem ve vztahu tónových rotací.” ([Piňos 1971], s. 12). K této redukci přináleží algoritmus, který provádí permutace tónů tak dlouho, dokud neurčí tvar (či tvary), který má ambitus nejmenší. Např. “des a b c f” permutujeme do tvaru “a b c des f” (ambitus malé sexty)[30].

4) Čtvrtá redukce spočívá v redukci (ne oktávových) transpozic: “Reprezentant zastupuje dále všech svých 11 transpozic” ([Piňos 1971], s. 13). Piňos v tomto místě sáhnul po intervalovém vyjádření, které reprezentuje intervaly mezi sousedními tóny pomocí přirozených čísel, která indikují počet půltónů (komentář k tomuto značení srov. níže). To nám ukazuje, že tato redukce je výsostně založena na vztazích mezi tóny, jimiž jsou intervaly dané poměrem výšek daných tónů. Např. reprezentant | 1 2 1 4 | reprezentuje jak “a b c des f”, tak např. transpozici “c des es f a” atd.

5) Jak lze zjistit, nejmenší ambitus negarantuje jedinečné určení reprezentanta, například jak “as e f c”, tak “e f as c” mají ambitus malé sexty. Proto Piňos formuluje pátou redukci, jíž je lexikografická prvotnost: “reprezentantem se ... stane ten, který je při intervalovém vyjádření lexikograficky první” (srov. [Piňos 1971], s. 13). V námi uvažovaném příkladu je “as e f c” vyjádřitelné jako | 4 1 3 |, “e f as c” jako | 1 3 4 |, lexikograficky prvním a tedy reprezentantem je | 1 3 4 |. K tomuto určení reprezentanta přísluší algoritmus: porovnej první interval s druhým (je-li jaký), je-li nižší, zaměň je, není-li, porovnej první s třetím, atd., analogicky porovnej druhý interval s třetím, atd. dokud nedojde k uspořádání od nejmenšího po nejmenší (tím dochází k jednosměrnosti reprezentanta tónové skupiny). Jak je patrné, jde o permutace intervalů. Určitým důsledkem je, že operace “rak” (obrácení směru posloupnosti) patří mezi permutace, a proto při této redukci v některých případech dochází k subsumování račího tvaru.

6) Právě šestá redukce využívá příbuznosti tvarů zrcadel: “Rozšiřme souhrn tvarů, které reprezentant skupiny zastupuje, ještě dále na zrcadlové tvary.” ([Piňos 1971], s. 13). Důvodem pro subsumování zrcadlových tvarů je úzká strukturální příbuznost, která je v hudbě užívána od nepaměti. Nějaké tónová slupina se sama nachází ve tvaru originál (O), může však být provedena její horizontální zrcadlo, rak (R), vertikální zrcadlo, inverze (I), čili obrácení směru intervalů originálu, případně inverze raka, račí inverze (RI). Povšimněme si, že ačkoli rak může být chápán jako permutace tónů či jako permutace intervalů, vertikální inverze obecně není permutací tónů. Až na výjimky tedy inverze i inverze raka nezachovávají (jak zjistil i Piňos) stejné tóny. Všimněme si ještě, že ve čtvrté redukci se neuvažují směry intervalů, nicméně u zrcadel ano. Příklady: reprezentant | 1 2 1 4 | zachycuje originál, např. “a b c des f”, raka “f des c b a”, inverzi “a ges e es h”, po vhodnější transpozici, kdy dojde k záměně pouze jednoho tónu “des c b as f”, inverzi raka “f as b c des”.

7) Sedmá redukce je založena na podobnosti tónových skupin spjatých tzv. kvartovou, resp. kvintovou proměnou (srov. [Piňos 1971], s. 14)[31], přičemž ty jsou vzájemně v poměru inverze. Obě proměny jsou založeny na nahrazení intervalu malé sekundy a velké septimy kvartou, resp. kvintou, ovšem navíc s tím, že kvartová proměna přiřazuje sudočíselným inervalů (2, 4, ...) týž interval, leč opačného směru, lichočíselným intervalům směry nemění, kvintová proměna mění směry lichočíselným intervalům, směry nemění intervalům sudočíselným. Jak zjišťuje i Piňos, také tato redukce nezřídka mění tóny. Příklady: “symetrická” tónová skupina | 2 4 2 |, např. “c d fis gis” má kvintovou proměnu totožnou s originálem, nesymetrická tónová skupina | 1 2 1 4 |, např. “a b c des f” má jako kvintovou proměnu “f c d a cis”, která po permutaci je tvarem “a c cis d f”.

Srovnejme nyní některé důsledky definování pojmu reprezentant tónové skupiny s výše uváděnými tónovými množinami. Pomineme-li redukci univerza 96-prvkového na 12-prvkové, pak početním výsledkem redukcí je u Piňose číslo 157 reprezentantů, přesněji 158 s prázdnou množinou (srov. [Piňos 1971], s. 18). Přitom 12-prvkové univerzum poskytuje 4096 kombinací, čili 4096 možných k-prvkových (pod)množin z dvanáctiprvkového univerza. Redukci 4096 na 158 reprezentantů tónových skupin tedy způsobuje jednak 4. redukce (abstrakce od transpozic), jednak 3. redukce (tvary s nejmenším ambitem) dále 5. redukce (lexikograficky první tvary) a také 6. a 7. redukce (subsumování zrcadlových tvarů a kvartových/kvintových proměn). Porovnejme nyní, v čem se Piňos liší od kombinatorického výsledku počtu možných tónových podmnožin. Podívejme se na jednotlivé počty k-prvkových množin z n prvků, kde n je rovno 12 (počet prvků universa tónů) a k je rovno nule (prázdná množina), či rovno jedné (jednoprvkové množiny), atd. až rovno dvanácti (dvanáctitónová množina); nechť (nk) je zápisem kombinačního čísla n nad k. V tabulce uveďme dvanáctý řádek Pascalova kombinačního trojúhelníku, pod ním výsledky výpočtu podle vzorce pro počet kombinací bez opakování (nk) = n!/(k!(n-k)!):

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(1210)

(1211)

(1212)

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

Piňos uvádí počty nezřídka odlišné (v prvním řádku vypisujeme k-prvkové tónové skupiny z n=12 tónů):

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

k=11

k=12

1

1

5

9

21

25

34

25

21

9

5

1

1

Ačkoli při výpočtu počtu reprezentantů by nás mohlo napadnout, že počet skupin je snižován redukcí transpozic (čili dělením dvanácti), není tomu tak obecně – vyjma jednotónových a dvanáctitónových skupin, u nichž počet reprezentantů může vzniknou tímto dělením. Počet reprezentantů 2- až 10-prvkových tónových skupin je vždy nižší než podíl dvanácti; např. počet reprezentantů dvouprvkových (či desetiprvkových) tónových skupin by měl být výsledkem dělení čísla 66 dvanáctkou, tj. 5,5, ovšem Piňos uvádí 5, dále počet reprezentantů tříprvkových (či devítiprvkových) tónových skupin by měl být výsledkem dělení čísla 66 dvanáctkou, tj. 18,3333, Piňos uvádí 9, atd. až po počet reprezentantů šestitónových tónových skupin, jichž by mělo být po dělení dvanáctkou 77, avšak Piňos uvádí číslo 34. Jak si lze všimnout, počet reprezentantů 3- až 9-prvkových tónových skupin je u Piňose vždy zhruba dvakrát nižší, než by měl být podíl počtu skupin děleno počtem transpozic. Nepochybně je toto snížení počtu zapříčiněno těmi redukcemi, které pod jednoho reprezentanta zahrnují skupiny (odmysleme se zde od transpozic), které nezřídka nezachovávají stejné tóny.

Jak bylo též vidět, s výjimkou druhé, do jisté míry i první redukce, se redukce zakládají na chápání tónové skupiny ne jako prostém množiny (s tóny bez vlastností), ale jako uspořádané množiny, neboť tyto redukce jsou možné jen a jen díky vlastnosti výšky, kterou mají všechny prvky-tóny; jsou možné v tom smyslu, že jsou předpokládány strukturální příbuznosti dané intervaly (vztahy mezi tóny).

Záznam reprezentanta tónové skupiny:

K zápisu reprezentanta (resp. vlastně všech tónových skupin) lze použít, kromě notového a specifického grafického záznamu (objeveného dr. E: Herzogem), především záznamu na “základě číselného vyjádření intervalů mezi sousedními, do jednosměrné posloupnosti srovnanými tóny skupiny” ([Piňos 1971], s. 24). Pro vyznačení skupiny pak používá kolmých závorek, např. tedy | 2 3 1 |. Toto závorkování bezprostředně neindikuje ani množinu (která je vyznačena složenými závorkami, {, }), ani uspořádanou n-tici (značenou zobáčkovými závorkami, <, >, popř. hranatými závorkami, [, ]).

Zauvažujme nyní nad vztahem pojmu posloupnosti k pojmu n-tice. Piňos nejprve uvažuje, že “Má-li tónová skupina n tónů, tvoří intervaly mezi sousedními tóny skupiny (n-1) člennou intervalovou posloupnost” ([Piňos 1971], s. 12), ovšem později se výrazu posloupnost brání: “Číselný výraz vyjadřuje velikost i četnost, nikoli však [nezbytně jen právě danou] posloupnost příslušných intervalů. ... Z číselného výrazu intervalové kombinace sestavíme konkrétní tónové skupiny permutacemi. Tak např. z dvouintervalové kombinace 1, 8 lze vytvořit tónovou skupinu | 1 8 | a její zrcadlo | 8 1 |” ([Piňos 1971], s. 16)[32]. Z matematického hlediska je jako posloupnost (série) obecně uvažována funkce z přirozených čísel do nějakých prvků; přirozená čísla vlastně určují pořadí prvku v řadě[33]. Uspořádaná n-tice je tedy určitou reprezentací posloupnosti (pořadí je fixováno konvencí říkající, že levý prvek je dříve než pravý prvek). Protože uspořádání do jednosměrné posloupnosti znamená nutnost fixovat pořadí, je zjevné, že kolmé závorky znamenají zobáčkové závorky uspořádaných n-tic (čili | | = < , >).

4.3. INTERVAL

K jednomu z možných způsobů definování intervalu se dá poměrně dobře využít pojem relace. Stručně řečeno (postup odvození poněkud zjednodušujeme), každý interval tak bude uspořádanou dvojicí tónů. U melodických intervalů bude první tón první prvkem této dvojice, druhý tón druhým prvkem; u harmonických intervalů, kdy je jeden tón spodní, druhý tón vrchní je otázkou volby, který z nich budeme považovat pro případ harmonických intervalů v termínech n-tic za první, a který za druhý. Kartézským součinem totožných množin (M×M, tj. M2) je množina všech uspořádaných dvojic jedné množiny[34]. Získáváme n2 prvků, což je počet variací s opakováním. Binární relace jsou podmnožiny tohoto kartézského součinu. Seznam intervalů, resp. příslušný, např., šachovnicový graf, získáme po zanesení výsledků kartézského součinu (tj. množiny uspořádaných dvojic) daného tónového univerza U2. Při dvanáctiprvkovém tónovém universu máme 122 intervalů v takovémto šachovnicovém grafu (všechny dvojice jsou uspořádanými dvojicemi):

c,h

des,h

d,h

es,h

e,h

f,h

ges,h

g,h

as,h

a,h

b,h

h,h

c,b

des,b

d,b

es,b

e,b

f,b

ges,b

g,b

as,b

a,b

b,b

h,b

c,a

des,a

d,a

es,a

e,a

f,a

ges,a

g,a

as,a

a,a

b,a

h,a

c,as

des,as

d,as

es,as

e,as

f,as

ges,as

g,as

as, as

a,as

b,as

h,as

c,g

des,g

d,g

es,g

e,g

f,g

ges,g

g,g

as,g

a,g

b,g

h,g

c, ges

des,ges

d, ges

es, ges

e, ges

f, ges

ges,ges

g, ges

as, ges

a, ges

b, ges

h, ges

c,f

des, f

d,f

es,f

e,f

f,f

ges, f

g,f

as,f

a,f

b,f

h,f

c,e

des,e

d,e

es,e

e,e

f,e

ges,e

g,e

as,e

a,e

b,e

h,e

c,es

des,es

d,es

es, es

e,es

f,es

ges,es

g,es

as,es

a,es

b,es

h,es

c,d

des,d

d,d

es,d

e,d

f,d

ges,d

g,d

as,d

a,d

b,d

h,d

c, des

des, des

d, des

es, des

e, des

f, des

ges,des

g, des

as, des

a, des

b, des

h, des

c,c

des,c

d,c

es,c

e,c

f,c

ges,c

g,c

as,c

a,c

b,c

h , c

Lze zjistit, že kartézský součin množiny 12-ti prvkového redukovaného univerza negeneruje všechny možnosti, které bychom v prostředí hudební terminologie potřebovali. Potřebujeme totiž 12 vzestupných intervalů primy (vzdálenost 0 půltónů), 12 intervalů vzestupných malé sekundy (1 půltón), 12 intervalů vzestupných velké sekundy (2 půltóny), atd., a navíc právě tolik v klesajících intervalech. Čili celkem 2 × 144 možností (tj. 288). Kartézský součin redukovaného univerza nám však vytváří jen 144 možností: 12 prim, 11 klesajících a 11 stoupajících malých sekund, 10 klesajících a 10 stoupajících velkých sekund atd. až po jednu jedinou klesající a jednu stoupající velkou septimu. Jde tedy pouze o všechny intervaly, které lze sestrojit v jedné dané oktávě.

K získání všech možných intervalů musíme vytvořit kartézský součin nad množinou všech 96 prvků, neredukovaného univerza. Půjde tedy o 962, tj. 9216 intervalů. V takto vzniklé množině nalezneme i interval <C2, c5>, aj. (Funkcí selekce lze pak získat všechny intervaly nepřesahující ambitus jedné oktávy. Z množiny všech intervalů menších než oktáva můžeme získat funkcí (selekce řádků) intervaly nezávislé na oktávové poloze. Další funkcí lze získat, pokud chceme, intervaly “neorientované”, abstraktní ke směru z <a,b> a <b,a> pomocí faktoru “i”, <a,i,b,i>, <b,i,a,i> of <a,b>.)

4.4. INTERVALOVÉ SKUPINY

Analogicky k pojmu tónové skupiny uvažujme pojem intervalová skupina. Každý výběr z tónové soustavy můžeme totiž zhodnotit z hlediska priority jiného aspektu, jak říká i Piňos ([Piňos 1971], s. 86) – místo preference tónů, aspektu tónového, můžeme skupinu zhodnotit primárně jakožto intervalovou (tóny jsou pak sekundární). Nyní se pokusíme předložit takovou definici reprezentanta intervalové skupiny, k níž bychom mohli přiložit komplementární definici reprezentanta tónové skupiny.

Intervalovou skupinu definujme[35] následovně: Intervalová skupina je jakákoli podmnožina intervalů v tónové soustavě obsažených (realizovatelných)[36].

Reprezentant intervalové skupiny:

Tak jako u skupin tónových lze rozlišit reprezentanty příbuzných tvarů. Mezi příbuzné tvary patří všechny intervalové skupiny intervalově příbuzné, tedy intervalové skupiny vybudované ze stejného (či stejných) intervalu (intervalů). Zákonitě tak jsou v příbuzenském vztahu např. zrcadlové tvary (jak jsme ukazovali výše Piňos je řadil k tónovým skupinám).

1) Jak víme, pro reprezentanta tónové skupiny používal Piňos intervalový číslicový zápis, intervalové vyjádření (srov. výše), který abstrahuje od intervalových směrů a je také vyjadřován vždy zdola nahoru. Reprezentant tónové skupiny je, jak jsme si výše uvedli, uspořádanou n-ticí intervalů, může obsahovat opakované intervaly. U intervalové skupiny je rozumné konstituovat reprezentanta intervalové skupiny jako množinu intervalů, žádný z intervalů v této množině obsažených se v ní neopakuje. Takto se reprezentant intervalové skupiny, např. {1}, výrazně liší od reprezentanta tónové skupiny, např. |111111|. Jednotlivé intervalové skupiny reprezentované reprezentantem {1} jsou např. tvary <1>, <1,1>, <1,1,1>, <1,1,1,1>, apod.[37]

2) Intervalová skupina i její reprezentant zákonitě postihují tónová uskupení ve všech jejích transpozicích.

3) Můžeme uskutečňovat zejména permutace intervalů, např. z {1 2 3} tvary <1,2,3>, <1,3,2>, <2,3,1>, <2,1,3>, <3,2,1>, <3,1,2>, díky ním jsou možná zrcadla[38]. Vzhledem k charakteristikám tónové soustavy se permutacemi intervalů mění tóny[39]. Lze zjistit, že zrcadlové tvary, které subsumoval Piňos pod reprezentanta tónové skupiny – např. “c d f” reprezentované pomocí |2 3|, “c es f” reprezentované pomocí |3 2| – jsou tedy jen intervalové permutace.

4) Je rovněž rozumné předpokládat, že reprezentant reprezentuje i tvary s různými směry intervalů. Např. {1 2 3} reprezentuje tvary <+1,+2,+3>, <-1,-2,-3>, <+1,-2,-3>, <+1,+2,-3>, <+1,-2,+3>, <-1,+2,+3>, <-1,-2,+3>, <-1,+2,-3>, atd. pro všechny permutace, i pro všechny tvary o vyšším počtu členů. Takto pod jednoho reprezentanta zahrneme nejen všechna zrcadla (inverze jsou otočením směru všech intervalů), ale i tvary s různě měněným směrem intervalů (něco takového však Piňos při definování reprezentanta tónové skupiny neuvažoval).

5) Můžeme dále sestavovat i tvary o vyšším počtu členů, než je počet druhů intervalů, např. z {1 2 3} tvary <2,2,3,1>, <1,3,3,2,2>, <1,1,3,1,2>, a další[40]. Tvary o nižším počtu členů pro jejich pouze částečnou příbuznost (danou vztahem “být podmnožinou”) zde nezařazujeme[41].

6) Kvintové i kvartové záměně se můžeme vyhnout, neboť mění intervaly (srov. Piňosovu 7. redukci).

7) Je otázkou praktické užitečnosti, zda-li budeme chtít kromě přenesených intervalů připouštět i subsumování tvarů s komplementárními intervaly pod jednoho reprezentanta. Uvažme zde i příbuznost s intervalovým zápisem reprezentanta tónové skupiny: mějme např. posloupnost g1 a1 c1, tedy intervalově posloupnost +2-9, reprezentantem příslušné intervalové skupiny je nepochybně množina {2,9}; reprezentanta pak podle dohody o připouštění komplementárních intervalů chápat jako {2,3} na základě komplementárnosti intervalů 9 a 3.

4.5. JINÁ DEFINICE REPREZENTANTA TÓNOVÉ SKUPINY

Z důvodů symetrie k reprezentantu intervalové skupiny se můžeme přiklonit k následující úpravě definice reprezentanta tónové skupiny, a tak vlastně definovat reprezentanta jinak než Piňos (budeme k jeho názvu připojovat hvězdičku). Jak zjistíme, reprezentant tónové skupiny definičně komplementární reprezentantu intervalové skupiny bude odlišný od reprezentanta tónové skupiny definované Piňosem. Toto zjištění nám bude ilustrovat “nemnožinovost” Piňosova reprezentanta, neboť naše odlišná definice bude zachovávat množinový charakter tónových uskupení.

Reprezentant* tónové skupiny:

1) První přibližnou podobu reprezentanta* tónové skupiny získáme tak, že vypustíme opakované prvky (srov. druhou redukci)[42].

2) Je užitečné subsumovat pod jednoho reprezentanta všechny permutované tvary, což naplníme uplatněním první a třetí redukce (srov. redukce výše); je tak předpokládána příbuznost komplementárních intervalů. Vzhledem k vlastnostem tónové soustavy se při tvorbě k-členných permutací z k-členných reprezentantů[43] tónových skupin intervaly mění[44]. (Srov. první redukci a bod 7 u reprezentanta intervalové skupiny.)

3) Transponované tvary (ve smyslu nikoli oktávových transpozic) nepřiřazujeme k jednomu reprezentantu*. Transponované tvary jsou sice intervalově shodné, ale jsou různé tónově[45]. (Srov. čtvrtou redukci a bod 5) u reprezentanta intervalové skupiny.)

4) Vyhýbáme se 6. redukci, neboť zrcadlové tvary obvykle nejsou ze stejných tónů (byť na rozdíl od tvarů kvartové, či kvintové záměny, mají vždy stejné intervaly jako reprezentant). Zrcadlové tvary jsme řadili k pojmu intervalové skupiny. (Srov. šestou redukci a bod 3 u reprezentanta intervalové skupiny.)

5) Je třeba se vyhnout 7. redukci, nebrat tedy v úvahu kvartové, či kvintové proměny, neboť zpravidla nevytváří uskupení se stejnými tóny. (Srov. sedmou redukci a bod 6 u reprezentanta intervalové skupiny.)

(Můžeme vytvářet i definice reprezentantů tónových skupin, které připouští kombinace jen některých redukcí.)

Tento “ořezaný” reprezentant* tónové skupiny je velmi blízko množinovému pojetí – vždyť z redukcí nám v zásadě zbyla vlastně jen první, druhá a třetí redukce, přičemž druhá redukce je vylučováním opakovaných tónů množinovému pojetí nejblíže. Takovýto reprezentant je ovšem muzikologicky i skladatelsky poněkud málo užitečný. Význam intervalů je totiž mnohem vyšší, než se při zdůrazňování priority tónů mělo za to[46]. Odlišné definování pojmu reprezentant tónové skupiny nám ukazuje, jak mnoho z Piňosovy definice reprezentanta tónové skupiny je založeno na vztazích výšek tónů. Pomocí své definice tónové skupiny, resp. jejího reprezentanta, Piňos subsumuje do jedné kolekce větší počet příbuzných tvarů (což je zvláště pro kompoziční praxi výhodnější).

5. ZÁVĚR

Jak jsme zjistili, tónovou skupinu je třeba chápat jako uspořádanou množinu. Tato skutečnost je zapříčiněna tím, že tónová soustava, z níž jsou vyňaty prvky tónových skupin, je sama již uspořádaná (pro toto zjištění jsme napřed definovali tón). Jedině díky uspořádanosti je možné definovat reprezentanta tónové skupiny, jak ho stanovil Piňos. Díky tomuto chápání tónů podléhajících výškovému uspořádání však vzrostla muzikologická relevance Piňosovy studie.

V průběhu našich zkoumání jsme definovali intervalovou skupinu, reprezentanta intervalové skupiny, reprezentanta* tónové skupiny, což nám umožnilo i jinak osvětlit Piňosovo definování reprezentanta tónové skupiny. Dalo nám to také nahlédnout význam intervalů i význam pojmu intervalové skupiny pro muzikologickou či kompoziční teorii.

Poděkování: Za přehlédnutí aplikací matematického aparátu děkuji RNDr. Marii Duží.

6. LITERATURA

ADÁMEK, Jiří (1982): Matematické struktury a kategorie. Praha: SNTL.

BALCAR, Bohuslav, ŠTĚPÁNEK, Petr (1986): Teorie množin. Praha: Academia.

BUKOVSKÝ, Lev (1985): Množiny a všeličo okolo nich. Bratislava: Alfa.

LUDVOVÁ, Jitka (1975): Matematické metody v hudební analýze. Praha: Editio Supraphon.

PIŇOS, Alois (1970): Vyvážené intervalové řady. In: Nové cesty hudby. Praha: Editio Supraphon.

PIŇOS, Alois (1970): Komplety tónových skupin, Konfrontace, 4.

PIŇOS, Alois (1971): Tónové skupiny. Praha: Editio Supraphon.

PIŇOS, Alois (1996): Obecné rysy modality a seriality / Vztahy mezi modalitou a serialitou. Brno: JAMU.

PIŇOS, Alois (2000): Tone Groups. Brno: JAMU.

RACLAVSKÝ, Jiří (1998): Tónové skupiny jakožto množiny. (klauzurní magisterská práce), FF MU, Brno.

RACLAVSKÝ, Jiří (1998a): Modalizace, serializace a intervalizace. (nepublikovaná studie).

RACLAVSKÝ, Jiří (1999): Tónové skupiny jakožto uspořádané množiny. (bakalářská práce), HF JAMU, Brno.

ZENKL, Luděk (1988): ABC hudební nauky. Praha: Supraphon.



1 Přeložena do angličtiny až v roce 2000 ([Piňos 2000]).
2 Typickým poznatkem získaný abstrakcí k tzv. reprezentantu tónové skupiny je např. zjištění, že všech pět klasických pentatonik má téhož reprezentanta, proto hudba (či její úsek) tvořené v kterékoli z nich zní v zásadě stejně. Srov. též Přílohu této statě.
3 Xenakis, Iannis (1992): Formalized Music (Revised Edition). Stuyvesant NY: Pendragon Press. První francouzské vydání r. 1963.
4 V této studie předpokládáme – kromě zájmu o Piňosovo teoretické dílo – dobrou znalost hudební teorie a základně znalost terminologie teorii množin (pro úvod viz např. [Bukovský 1985], pokročileji [Balcar, Štěpánek 1986]).
5 Kniha čítá 154 stran (velikostí blížících se formátu A4) a většinou drobného písma.
6 Tato studie vychází z autorových dvou prací na dané téma, totiž zprvu [Raclavský 1998], zejména však [Raclavský 1999], na jejímž základě byla vypracována tato studie.
7 Při aplikacích matematického aparátu jsme nevyužili všech možností, které skýtá. Mnohé detaily by mohly být vypracovány při jiných cílech, např. při snaze o vypracování jisté kompoziční techniky nebo třeba při záměru vystavět určitou metodiku analýzy hudebních skladeb.
8 Dále by mohla být aplikována teorie grup, struktur, či kategorií (srov. [Adámek 1982]).
9 Podobně toto slovo používá Přehled užité matematiky Karla Rektoryse a spolupracovníků (srov. [Rektorys 1981], s. 49), našli bychom jistě i další příklady.
10 Naše podání však odlišuje kombinatoriku spjatou s množinami a kombinatoriku spjatou s uspořádanými n-ticemi.
11 Piňos (dle osobního sdělení) nezamýšlel žádnou hierarchizaci; termín skupina volil kvůli lepší srozumitelnosti v hudebním prostředí.
12 V této souvislosti uvádím, že můj výklad půjde více zeširoka a to proto, že je cílen jako zpochybnění v muzikologii obvyklého zvyku nasazovat na hudbu pouze takovýto pojem množiny (srov. [Ludvová 1975]); ukáži, že takto je ignorován základní rys tónů, totiž vlastnost výšky (proto bude nutné uplatnit pojem uspořádané množiny).
13 Abychom mohli určit výšku tónu, musíme mít zejména pro případ 16,35 herzového C2 vzhledem k začátku periody nejméně 1/16,35 vteřiny. Fyzikální jednotkou měření výškové frekvence je Herz, Hz.
14 Fyzikální jednotkou měření je decibel, dB.
15 Uvádíme obecnou značku pro čas, t.
16 Jde tak o funkci z časových okamžiků do n-tic výšek (popř. i jejich dynamik).
17 Sinusový tón je tón bez jakékoli přídavné frekvence, lze ho vytvořit jen uměle pomocí tónového generátoru.
18 Někdo by tu mohl vidět následující problém: co je prvním členem, co druhým, co třetím popř. čtvrtým členem té n-tice, zda <Hz, t, dB, B>, anebo <t, Hz, dB, b>, aj. Kartézský součin totiž není asociativní, obecně ani komutativní – (M×N)×P není totéž co M×(N×P). Záleží ovšem na tom, co je první a co druhé? Patrně totiž na tom nezáleží, n-tice je jen konstrukt (neznáme příklad, kdybychom ho nemohli nahradit pojmem funkce).
19 Odhlížíme od enharmonických záměn, kdy např. tón b je vyjádřen jako hes, ais, či ceses, asis.
20 Je to tzv. numerická identita.
21 Takto značíme prázdnou množinu.
22 Vlastně jde o součet kombinačních čísel v n-tém řádku Pascalova kombinačního trojúhelníku.
23 První řádek je nultý.
24 Ty obsahují jedenáct druhů intervalů (na jejichž směru nezáleží), z nichž každý je uveden právě jednou.
25 Vzpomeňme v této souvislosti např. ABC hudební nauky: “Tónová soustava je přehledné uspořádání tónů užívaných v hudbě, podle jejich výšek. ... Tónová soustava si nevšímá ani délky, ani síly nebo barvy tónů, ale pouze jejich výšky.” ([Zenkl 1988], s. 11, kurzíva J.R.).
26 Je třeba si uvědomit, že navzdory odmítnutí pojmu množiny, nepozbývá tento pojem smyslu pro užívání. Užít pojem množina lze pracovně vždy, avšak sílu tohoto užití nelze přeceňovat, navíc je třeba se vyvarovat případných následků tohoto provizorního užití.
27 Termín redukce není Piňosův.
28 Srov. sekci 3.2, Tónová soustava.
29 Srov. Seznam všech reprezentantů tónových skupin ([Piňos 1971], s. 142-144).
30 Snadno lze pak uvažovat funkci z n-tic do n-tic.
31 Piňos se odvolává na příbuznost prokázanou teorií dodekafonie. Dlužno též podotknout, že kvartová i kvintová proměna byly původně uvedeny teorií dodekafonie, jejich aplikace na nedvanáctitónová uskupení je tedy novátorská.
32 Zde bychom mohli volit lépe vyjádření “z reprezentanta tónové skupiny |1 8| lze vytvořit posloupnosti <1,8> a <8,1>”.
33 Tato funkce může být chápána jako množina uspořádaných dvojic, v nichž první prvek je číslo a druhý prvek nějakého uvažovaného oboru prvků.
34 Obecně není kartézský součin ani asociativní, ani komutativní (tj. (M×N)×P není totéž co M×(N×P)).
35 Autor zde využívá poznatků a zjištění z dosud nepublikované studie “Modalizace, serializace a intervalizace” ([Raclavský 1998a]).
36 Jsou to množiny, přičemž na jejich pořadí nezáleží.
37 Jeden zajímavý důsledek vyplývající z pojmu reprezentant intervalové skupiny: Uvědomme si fakt, že klasická harmonie staví akordy z reprezentanta jedné intervalové skupiny {3,4}, výjimku tvoří zvětšený a zmenšený kvintakord a pochopitelně snad všechny alterované akordy. Kromě kvintakordů (durového a mollového) jsou všechny ostatní akordy (septakordy, nónové akordy atd.) vybudovány intervalové skupiny o vyšším počtu členů než je počet druhů intervalů v této intervalové skupině. Obraty akordů, tj. jakési permutace, pak vychází z tónového zhodnocení – permutujeme tóny, intervaly se mění: např. c1 e1 g1 h1 “permutujeme” do tvaru e1 g1 h1 c2, přičemž intervalová struktura <4, 3, 4> je změněna na strukturu <3, 4, 1>.
38 Počet k-členných permutací z n prvků, kde k=n (tedy permutace bez opakování), je n! (faktoriál n).
39 Intervaly zůstávají, tóny se mění.
40 Počet k-členných permutací z n prvků, kde k je větší než n a první prvek se opakuje k1-krát, druhý prvek k2-krát, atd. (tedy permutace s opakováním), je k!/k1!k2!...kn!.
41 Jejich počet by byl obecně nk, tedy k-členné variace s opakováním z n prvků.
42 Z tohoto bodu plyne, že počet reprezentantů by byl 2n, kde n je rovno 12 (počet všech kombinací-podmnožin bez opakování). Dalšími redukcemi dojde ke snížení tohoto počtu.
43 Počet permutací bez opakování pro jednotlivé k je k!.
44 Tóny zůstávají, intervaly se mění.
45 Pokud bychom to připustili, pak by reprezentant* tónové skupiny obsahující pouze tón c reprezentoval jednak tóny celé chromatické stupnice, jednak – dík množinovému charakteru – všechny tónové skupiny, což je jistě absurdní.
46 Na toto pro případ využití v kompoziční teorii upozorňuje Piňos ve studii Vyvážené intervalové řady (srov. [Piňos 1970]).